模拟调制系统

第5章 模拟调制系统

• 幅度调制（线性调制）原理
  • AM（调幅）
  • DSB（双边带调制）
  • SSB（单边带调制）
    • 滤波法
    • 相移法
  • VSB（残边带调制）
  • 线性调制的一般模型
    • 滤波法
    • 相移法
  • 相干解调
  • 包络检波
• 角度调制（非线性调制）原理
  • FM（调频）& PM（调相）
    • FM & PM 基本概念
    • 单音调制 FM & PM
  • 窄带调频 (NBFM)
  • 宽带调频 (WBFM)
  • 调频信号的产生
    • 直接调频法
    • 间接调频法
    • 正交调制法
  • 调频信号的解调
    • 非相干解调
    • 相干解调
    • 正交解调

幅度调制（线性调制）原理

设正弦型载波为
\[ c(t) = A \cos (\omega_c t + \varphi_0) \]
其中

• \(A\)：载波幅度
• \(\omega_c\)：载波角频率
• \(\varphi_0\)：载波初始相位，可假定为 0

则幅度已调信号一般可表示成
\[ s_m(t) = A m(t) \cos \omega_c t \]
其中，\(m(t)\) 为基带调制信号。

已调信号的频谱
\[ S_m(\omega) = \dfrac{A}{2} [M(\omega + \omega_c) + M(\omega - \omega_c)] \]
其中，\(M(\omega)\) 为 \(m(t)\) 的频谱。

AM（调幅）

标准调幅，常规双边带调制。
将原信号叠加一个直流偏量后于载波相乘，得到带有载波分量的双边带信号。

时域表达式： \[ s_{AM}(t) = [A_0 + m(t)] \cos \omega_c t= A_0 \cos \omega_c t + m(t) \cos \omega_c t \]

若 \(m(t)\) 为确知信号，则 AM 信号的频谱为：
\[ S_{AM}(\omega) = \pi A_0 [\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)] + \dfrac{1}{2} [M(\omega + \omega_c) + M(\omega - \omega_c)] \]

当满足条件 \(| m(t) |_{max} \leq A_0\) 时，AM 波的包络与调制信号 \(m(t)\) 的形状完全一样。

记基带信号的带宽为 \(f_H\)，则 AM 信号的带宽 \(B_{AM} = 2 f_H\)。

DSB（双边带调制）

抑制载波双边带信号 (DSB-SC)，简称双边带信号 (DSB)。

时域表达式：
\[ s_{DSB}(t) = m(t) \cos \omega_c t \]

频谱：
\[ S_{DSB}(\omega) = \dfrac{1}{2} [M(\omega + \omega_c) + M(\omega - \omega_c)] \]

带宽与 AM 信号带宽相同。

SSB（单边带调制）

将双边带信号中的一个边带滤掉。

滤波法

保留上边带，使用高通滤波器；保留下边带，使用低通滤波器。

频谱表示：
\[ S_{SSB}(\omega) = S_{DSB}(\omega) \cdot H(\omega) \]

相移法

希尔伯特变换：将原信号相移 \(\dfrac{\pi}{2}\)，记为 \(\hat{}\)
希尔伯特滤波器：\(H_h(\omega) = -j sgn(\omega)\)

时域表达式：
\[ s_{SSB}(t) = \dfrac{1}{2} m(t) \cos \omega_c t \mp \dfrac{1}{2} \hat{m}(t) \sin \omega_c t \]
其中，\(\hat{m}(t)\) 是 \(m(t)\) 的希尔伯特变换。
"\(-\)" 表示上边带信号，"\(+\)" 表示下边带信号。

带宽：\(B_{SSB} = f_H\)

VSB（残边带调制）

跟单边带滤波法类似，只是不像 SSB 中一样完全抑制 DSB 信号的一个边带，而是逐渐切割，使其残留一小部分。

频谱为：
\[ S_{VSB}(\omega) = S_{DSB}(\omega) \cdot H(\omega) \]

为保证相干解调的输出无失真地恢复调制信号 \(m(t)\)，必须要求：
\[ H(\omega + \omega_c) + H(\omega - \omega_c) = 常数,\quad |\omega| \leq \omega_H \]
其中，\(\omega_H\) 是 \(m(t)\) 的截止角频率。

线性调制的一般模型

滤波法

输出已调信号的时域表达式：
\[ s_m(t) = [m(t) \cos \omega_c t] * h(t) \]
频域表达式：
\[ S_m(\omega) = \dfrac{1}{2} [M(\omega + \omega_c) + M(\omega - \omega_c)] H(\omega) \]

相移法

将 \(s_m(t)\) 分解成两个互为正交调制分量，即
\[ s_m(t) = s_I(t) \cos \omega_c t + s_Q(t) \sin \omega_c t \]
其中
\[ \begin{aligned} &s_I(t) = h_I(t) * m(t),\quad h_I(t) = h(t) \cos \omega_c t \\ &s_Q(t) = h_Q(t) * m(t),\quad h_Q(t) = h(t) \sin \omega_c t \end{aligned} \]

相干解调

适用于所有线性调制信号的解调。
对于 AM 信号，解调后加隔直电容。

接收端提供一个与接收的已调载波严格同步（同频同相）的本地载波（称为相干载波），它与接收的已调信号相乘后，经低通滤波器取出低频分量，即可得到原始的基带调制信号。

送入解调器的已调信号：
\[ s_m(t) = s_I(t) \cos \omega_c t + s_Q(t) \sin \omega_c t \]
与相干载波相乘得：
\[ s_p(t) = s_m(t) \cos \omega_c t = \dfrac{1}{2} s_I(t) + \dfrac{1}{2} s_I(t) \cos 2\omega_c t + \dfrac{1}{2} s_Q(t) \sin 2\omega_c t \]
经过低通滤波器 (LPF) 后得解调信号：
\[ s_d (t) = \dfrac{1}{2} s_I(t) \propto m(t) \]

包络检波

适用于满足 \(| m(t) |_{max} \leq A_0\) 条件的 AM 信号。

通常由半波或全波整流器和低通滤波器组成。
在包络的上升阶段，新作用在二极管正极的脉冲比原来脉冲的峰值大。在电容放了一点点电后，新的脉冲到来，使得二极管导通，再次给电容充电。电容电压变化整体趋势是沿着包络上升。
在包络的下降阶段，新作用在二极管正极的脉冲比原来脉冲的峰值小。相对包络上升阶段，电容的充电时刻集中在脉冲的顶部，充电时间相对减小，放电时间相对增多。电容电压变化的整体趋势是沿着包络下降。

检波器的 RC 需要满足条件：
\[ f_H \leq \dfrac{1}{RC} \leq f_c \]
其中，\(f_H\) 是调制信号的最高频率，\(f_c\) 是载波的频率。

条件满足时，检波器的输出为：
\[ s_d(t) = A_0 + m(t) \]

角度调制（非线性调制）原理

FM（调频）& PM（调相）

FM & PM 基本概念

角度调制信号的一般表达式为
\[ s_m(t) = A \cos [\omega_c t + \varphi(t)] \]
其中

• \(A\)：载波的恒定振幅
• \(\theta(t) = \omega_c t + \varphi(t)\)：信号的瞬时相位
• \(\omega_c t\)：载波相位
• \(\varphi(t)\)：相对于载波相位的瞬时相位偏移
• \(\omega(t) = \dfrac{d[\omega_c t + \varphi(t)]}{dt}\)：信号的瞬时角频率
• \(\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\)：相对于载频 \(\omega_c\) 的瞬时频率偏移

相位调制 (PM)，指瞬时相位偏移随调制信号 \(m(t)\) 作线性变化，即
\[ \varphi(t) = K_p m(t) \]
其中，\(K_p\) 为调相灵敏度 \((rad/V)\)，含义是单位调制幅度引起 PM 信号的相位偏移量。
带入可得调相信号为
\[ s_{PM}(t) = A\cos [\omega_c t + K_p m(t)] \]

频率调制 (FM)，指瞬时频率偏移随调制信号 \(m(t)\) 成比例变化，即
\[ \dfrac{d\varphi(t)}{dt} = K_f m(t) \]
其中，\(K_f\) 为调频灵敏度 \((rad/(s \cdot V))\)。
这时，相位偏移为
\[ \varphi(t) = K_f \int m(\tau) d\tau \]
带入可得调频信号为
\[ s_{FM} (t) = A \cos [\omega_c t + K_f \int m(\tau) d\tau] \]

单音调制 FM & PM

设调制信号为单一频率的正弦波，即
\[ m(t) = A_m \cos \omega_m t = A_m \cos 2\pi f_m t \]

PM 信号：
\[ s_{PM}(t) = A \cos[\omega_c t + m_p \cos \omega_m t] \]
其中，\(m_p = K_p A_m\) 称为调相指数，表示最大的相位偏移。

FM 信号：
\[ s_{FM}(t) = A \cos[\omega_c t + m_f \sin \omega_m t] \]
其中

• \(m_f = \dfrac{K_f A_m}{\omega_m} = \dfrac{\Delta \omega}{\omega_m} = \dfrac{\Delta f}{f_m}\)：调频指数，表示最大的相位偏移
• \(\Delta \omega = K_f A_m\)：最大角频偏
• \(\Delta f = m_f \cdot f_m\)：最大频偏

窄带调频 (NBFM)

FM 信号的最大瞬时相位偏移满足
\[ \left| K_f \int m(\tau) d\tau \right| \ll \dfrac{\pi}{6}\ (或 0.5) \]
此时有
\[ \begin{aligned} &\cos \left[ K_f \int m(\tau) d\tau \right] \approx 1 \\ &\sin\left[ K_f \int m(\tau) d\tau \right] \approx K_f \int m(\tau) d\tau \end{aligned} \]

FM 信号的时域表达式可化简为
\[ s_{NBFM}(t) \approx A \cos \omega_c t - \left[ A K_f \int m(\tau) d\tau \right] \sin \omega_c t \]
对应的频域表达式为
\[ S_{NBFM}(\omega) = \pi A [\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)] + \dfrac{A K_f}{2} \left[\dfrac{M(\omega - \omega_c)}{\omega - \omega_c} - \dfrac{M(\omega + \omega_c)}{\omega + \omega_c}\right] \]
带宽与 AM 信号相同，都为调制信号最高频率的两倍。

宽带调频 (WBFM)

最大瞬时相位偏移不满足窄带调频的条件。

设单音调制信号为
\[ m(t) = A_m \cos \omega_m t = A_m \cos 2\pi f_m t \]
利用傅里叶极数展开可得
\[ \begin{aligned} &\cos (m_f \sin \omega_m t) = J_0(m_f) + \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2J_{2n}(m_f) \cos 2n \omega_m t \\ &\sin (m_f \sin \omega_m t) = 2\sum\limits_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(m_f) \sin (2n-1) \omega_m t \end{aligned} \]
其中，\(J_n(m_f)\) 为第一类 n 阶贝塞尔函数，具有以下性质
\[ \begin{aligned} &J_{-n}(m_f) = -J_n(m_f)\quad n 为奇数 \\ &J_{-n}(m_f) = J_n(m_f)\quad n 为偶数 \end{aligned} \]

可以得到 FM 信号的级数展开形式为
\[ s_{FM}(t) = A\sum\limits_{-\infty}^{\infty} J_n(m_f) \cos (\omega_c + n\omega_m)t \]
对应的频域表达式为
\[ S_{FM}(\omega) = \pi A\sum\limits_{-\infty}^{\infty} J_n(m_f) [\delta(\omega - \omega_c - n\omega_m) + \delta(\omega + \omega_c + n\omega_m)] \]
带宽为
\[ B_{FM} = 2(m_f + 1)f_m = 2(\Delta f + f_m) \]
当 \(m_f \ll 1\) 时，\(B_{FM} \approx 2f_m\) (NBFM)；
当 \(m_f \gg 1\) 时，\(B_{FM} \approx 2\Delta f\) (WBFM)。

调频信号的产生

直接调频法

用调制信号直接控制载波振荡器的频率，使其按调制信号的规律线性地变化。

锁相环 (PLL) 调制器：使输出振荡器信号与参考信号同步。

• 晶体振荡器：产生频率稳定、精确的信号。

• 相位检测器 (PD)：对两个信号的相位进行比较，并根据两个信号的相位差产生一个电压。
  通常由模拟乘法器组成，两个输入信号分别为晶振的输出和 VCO 输出的 FM 信号。

  设晶振的输出信号和 VCO 的输出信号分别为
  \[ \begin{aligned} &u_i(t) = U_{im} \sin [\omega_i t + \theta_i (t)] \\ &u_o(t) = U_{om} \sin [\omega_o t + \theta_o (t)] \end{aligned} \]
  则模拟乘法器的输出电压为
  \[ \begin{aligned} u_D(t) &= K u_i(t) u_o(t) \\ &= \dfrac{1}{2} K U_{im} U_{om} \sin[(\omega_i t + \theta_i(t)) + (\omega_o t + \theta_o(t))] \\ &+ \dfrac{1}{2} K U_{im} U_{om} \sin[(\omega_i t + \theta_i(t)) - (\omega_o t + \theta_o(t))] \end{aligned} \]

• 环路滤波器 (LF)：为低通滤波器。过滤 PD 的输出，即过滤掉 \(u_D(t)\) 中的和频分量，留下差频分量作为 VCO 的输入信号的一部分。

  PD 的输出信号为
  \[ \begin{aligned} u_C(t) &= \dfrac{1}{2} K U_{im} U_{om} \sin[(\omega_i t + \theta_i(t)) - (\omega_o t + \theta_o(t))] \\ &= U_{dm} \sin[(\omega_i - \omega_o)t + (\theta_i(t) - \theta_o(t))] \end{aligned} \]
  当锁相环进入相位锁定状态时，\(u_C(t)\) 为恒定值，不随时间变化。

• 压控振荡器 (VCO)：由外部电压控制振荡频率的振荡器，振荡频率正比于输入控制电压。
  用于产生调频信号，通常被认为是回路的输出。

  将 LF 的输出和调制信号 \(m(t)\) 叠加后输入 VCO，可得输出信号的瞬时角频率为
  \[ \omega(t) = \omega_0 + K_f m(t) \]

间接调频法

先将调制信号积分，然后对载波进行调相，即可产生一个 NBFM 信号，再经过 n 次倍频器得到 WBFM 信号。

记调制信号为 \(m(t)\)，载波为 \(A \cos \omega_c t\)。

• 产生 NBFM 信号

  • 将 \(m(t)\) 输入积分器，得到
    \[ K_f \int m(\tau) d\tau \]
  • 对载波进行调相，使其相位 \(-\dfrac{\pi}{2}\)，得到
    \[ A \sin \omega_c t \]
  • 将两个信号相乘后，用原载波信号减去相乘结果，得到 NBFM 信号为
    \[ s_{NBFM} = A \cos \omega_c t - \left[A K_f \int m(\tau) d\tau\right]\sin \omega_c t \]

• 通过倍频器，提高调频指数 \(m_f\)，得到 WBFM 信号。

  • 倍频器可用非线性器件实现，然后通过带通滤波器滤去不需要的频率分量。
    以理想平方律器件为例，其输入输出特性为 \(s_o(t) = a s_i^2(t)\)。

    当输入信号为调频信号时有
    \[ \begin{aligned} s_i(t) &= A \cos [\omega_c t + \varphi(t)] \\ s_o(t) &= \dfrac{1}{2} aA^2 [1 + \cos(2\omega_c t + 2 \varphi(t))] \end{aligned} \]
    滤除直流成分后得到一个新的调频信号，其载频和相位偏移均增加到原来的 2 倍，因此 \(m_f\) 也增为原来的 2 倍。
    同理，经过 n 次倍频后增加为原来的 n 倍。

  • 倍频器在提高相位偏移的同时也会提高载波频率，需要混频器进行下变频来使载波频率符合要求。

    记原载频为 \(f_1\)，经过 \(n_1\) 次倍频得到的频率为 \(n_1 f_1\)；
    记混频器参考频率为 \(f_2\)，则调频发射信号的载频为 \(f_c = n_2(n_1 f_1 - f_2)\)。

正交调制法

• 对调制信号 \(m(t)\) 进行积分，得到
  \[ \Phi = K_f \int m(\tau) d\tau \]

• 对积分后的信号分别取余弦和正弦，得到 I 路数据和 Q 路数据为
  \[ \begin{aligned} I(t) &= \cos(\Phi) \\ Q(t) &= \sin(\Phi) \end{aligned} \]

• 两路信号分别乘上载波 \(A\cos (\omega_c t)\) 和 \(-A\sin (\omega_c t)\) 相加，得到 FM 信号为
  \[ \begin{aligned} s_{FM}(t) &= A I(t) \cos (\omega_c t) - A Q(t) \sin (\omega_c t) \\ &= A \cos (\omega_c t + \Phi) \end{aligned} \]

  也可以将 \(I(t)\) 和 \(Q(t)\) 组成一个复信号 \(Z(t) = I(t) + j Q(t)\)，然后乘以复载波 \(\exp (j\omega_c t)\)，取实部得 FM 信号
  \[ s_{FM}(t) = Re \{Z(t) \exp (j\omega_c t)\} \]

调频信号的解调

调频信号的解调要产生一个与输入调频信号的频率呈线性关系的输出电压。
使用鉴频器来完成这种频率-电压转换关系。

非相干解调

NBFM 信号和 WBFM 信号都适用。

调频信号的一般表达式为
\[ s_{FM} (t) = A \cos [\omega_c t + K_f \int m(\tau) d\tau] \]

常见的鉴频器为微分器和包络检波器。

• 将调频信号通过一个带通滤波器 (BPF) 和限幅器。
  BPF 滤除带外噪声及高次谐波分量。
  限幅器消除信道中噪声和其他原因引起的调频波的幅度起伏。

• 对限幅器输出的信号求微分，即把幅度恒定的调频信号变成幅度和频率都随调制信号 \(m(t)\) 变化的调幅调频波 \(s_d(t)\)。
  \[ \begin{aligned} s_d(t) &= \dfrac{d s_{FM}(t)}{dt} \\ &= -A[\omega_c + K_f m(t)] \sin \left[\omega_c t + K_f \int m(\tau) d\tau\right] \end{aligned} \]

• 通过包络检波器将其幅度变化检出并滤去直流，与 AM 信号的包络检波同理。

• 通过一个低通滤波器，滤除高频载波 (\(2\omega_c\) 或 \(\omega_c\))，得到解调输出
  \[ m_o(t) = K_d K_f m(t) \]
  其中 \(K_d\) 为鉴频灵敏度 \((V/(rad/s))\)

相干解调

仅适用于 NBFM 信号。

窄带调频信号的表达式为
\[ s_{NBFM}(t) = A \cos \omega_c t - A \left[ K_f \int m(\tau) d\tau \right] \sin \omega_c t \]
相干载波为
\[ c(t) = -\sin \omega_c t \]

• 将 NBFM 信号与相干载波相乘，得到
  \[ s_p(t) = -\dfrac{A}{2} \sin 2\omega_c t + \dfrac{A}{2} \left[ K_f \int m(\tau) d\tau \right] (1 - \cos 2\omega_c t) \]

• 经过低通滤波器取出其低频分量
  \[ s_d(t) = \dfrac{A}{2} \left[ K_f \int m(\tau) d\tau \right] \]

• 经过微分器，得到解调输出
  \[ m_o(t) = \dfrac{A K_f}{2} m(t) \]

正交解调

正交解调也属于相干解调的一种，但具有较强的抗载频失配能力，不要求相干载波严格的同频同相。

记 \(\Phi = K_f \int m(\tau) d\tau\)
原调频信号为
\[ \begin{aligned} s_{FM} (t) &= A \cos [\omega_c t + K_f \int m(\tau) d\tau] \\ &= A \cos (\omega_c t + \Phi) \end{aligned} \]

• 乘以正交相干载波得到 \(s_I(t)\) 和 \(s_Q(t)\)，即
  \[ \begin{aligned} s_I(t) &= s_{FM}(t) \cos (\omega_c t) \\ &= \frac{A}{2} \cos(2\omega_c t + \Phi) + \dfrac{A}{2} \cos(\Phi) \\ s_Q(t) &= -s_{FM}(t) \sin (\omega_c t) \\ &= -\frac{A}{2} \sin(2\omega_c t + \Phi) + \dfrac{A}{2} \sin(\Phi) \end{aligned} \]

• 通过低通滤波器，滤除高频分量可得
  \[ \begin{aligned} s_I(t) &= \dfrac{A}{2} \cos(\Phi) \\ s_Q(t) &= \dfrac{A}{2} \sin(\Phi) \end{aligned} \]

• 通过反正切计算相位
  \[ K_f \int m(\tau) d\tau = \Phi(t) = atan\left[\dfrac{s_Q(t)}{s_I(t)}\right] \]

• 通过一个微分器得到解调结果 \(m_o(t)\)

• 对于数字信号，可以采用改良算法，将上述两步合并成一步，得到
  \[ m_o(n) = \dfrac{s_I(n-1) s_Q(n) - s_I(n) s_Q(n-1)}{s^2_I(n) + s^2_Q(n)} \]